Как измерить площадь неровного прямоугольника

Содержание:

Площадь комнаты в квадратных метрах

Посчитать несложно, требуется только вспомнить простейшие формулы а также провести измерения. Для этого нужны будут:

  • Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
  • Бумага и карандаш или ручка.
  • Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Как высчитать площадь комнаты

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Перед тем как посчитать площадь комнаты, тоже проводим изменения. Только в этом случае цифр будет не две, а четыре: добавится еще длина и ширина выступа. Габариты обоих кусков считаются отдельно.

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Площадь комнаты сложной формы

Покажем на этом примере как посчитать площадь комнаты с выступом (изображена на фото выше):

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту

Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный

Как посчитать площадь комнаты неправильной формы

В этом случае порядок вычислений такой:

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Формулы расчета площади и периметра простых геометрических фигур

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка

Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Информация о прямоугольнике

Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.

Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.

Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.

Свойства и признаки

Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:

  1. Условие параллельности и равенства противоположных сторон.
  2. Наличие четырех прямых углов.
  3. Равенство диагоналей.
  4. Квадрат диагонали равен суммарному значению квадратов двух сторон, которые не противоположны.
  5. Все стороны не равны между собой.

Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают

Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:

  1. Углы равны между собой 90 градусов.
  2. Противолежащие параллельные стороны равны.
  3. Сумма всех внутренних углов составляет 360.
  4. Диагональ, проведенная внутри прямоугольника, делит его на два равнозначных треугольника, которые являются равновеликими. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (размерности сторон одной фигуры равны значениям сторон другой фигуры).
  5. Треугольники, полученные при проведении двух диагоналей, равны по всем признакам (углам и сторонам).
  6. Диагонали пересекаются между собой в точке, которая делит их на четыре равные части.
  7. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
  8. Сумма квадратов двух диагоналей соответствует суммарному значению квадратов всех сторон фигуры.

Периметр и размерность

Нужно ввести некоторые обозначения. Пусть стороны прямоугольника АВСД обозначаются литерами a и b. Поскольку диагонали равны, то можно только обозначить размерность одной буквой «d». Периметром называется сумма всех сторон заданной фигуры. Он обозначается литерой P. Для его нахождения применяется формула такого вида: P = 2 * (a + b). Однако бывает случай, когда известна только одна его сторона и диагональ. Формула приобретает следующий вид: P = 2a + ^(1/2) и P = 2b + ^(1/2).

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.

Соотношение имеет следующий вид: S = S1 + S2 = 2S1= 2 * ^(1/2). Переменная «p» — полупериметр треугольника. Он находится таким методом: p = P / 2 = (a + b + d) / 2.

Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы

Инструкция для калькулятора расчета площади неправильного земельного участка

Данный онлайн калькулятор помогает произвести расчет, определение и вычисление площади земельного участка в онлайн режиме. Представленная программа способна правильно подсказать, как выполнить расчет площади земельных участков неправильной формы.

Указываем все данные в метрах

A B, D A, C D, B C— Размер каждой стороны делянки.

Согласно введен данным, наша программа в онлайн режиме выполнить расчет и определить, площадь земельных угодий в квадратных метрах, сотках, акрах и гектарах.

Методика определения размеров участка ручным методом

Чтобы правильно выполнить расчет площади делянок, не нужно использовать сложные инструменты. Мы берем деревянные колышки или металлические прутья и устанавливаем их в углах нашего участка. Далее при помощи измерительной рулетки определяем ширину и длину делянки. Как правило, достаточно выполнить замер одной ширины и одной длины, для прямоугольных или равносторонних участков. Для примера, у нас получились следующие данные: ширина – 20 метров и длина – 40 метров.

Далее переходим к расчету площади делянки. При правильной форме участка, можно использовать геометрическую формулу определения площади (S) прямоугольника. Согласно этой формуле, нужно выполнить умножение ширины (20) на длину (40) , то есть произведение длин двух сторон. В нашем случае S=800 м².

После того, как мы определили нашу площадь, мы можем определить количество соток на земельном участке. Согласно общепринятым данным, в одной сотке – 100 м². Далее при помощи простой арифметики, мы разделим наш параметр S на 100. Готовый результат и станет равен размеру делянки в сотках. Для нашего примера, этот результат – 8. Таким образом, получаем, что площадь участка составляет восемь соток.

В том случае, когда территория угодий очень большая, то лучше всего выполнять все измерения в других единицах – в гектарах. Согласно общепринятым единицам измерения – 1 Га = 100 соток. К примеру, если наша земельная делянка согласно полученным измерениям составляем 10 000 м², то в этом случае его площадь равна 1 гектару или 100 соткам.

Если Ваш участок неправильной формы, то в этом случае количество соток напрямую зависит от площади. Именно по этой причине при помощи онлайн калькулятора Вы сможете правильно рассчитать параметр S делянки, и после этого разделив полученный результат на 100. Таким образом, Вы получите расчеты в сотках. Такой метод предоставляет возможность измерять делянки сложных форм, что весьма удобно.

Общие данные

Расчет площади земельных участков базируется на классических расчетах, которые выполняются согласно общепринятым геодезическим формулам.

Всего доступно несколько методов для расчета площади земельных угодий – механический (рассчитывается по плану при помощи мерных палеток), графический (определяется по проекту) и аналитический (при помощи формулы площади по измеренным линиям границ).

На сегодняшний день самым точным способом заслуженно считается – аналитический. Используя данный метод, ошибки при расчетах, как правило, появляются из-за погрешностей на местности измеренных линий. Данный способ является также и достаточно сложным, если границы криволинейные или количество углом на делянке больше десяти.

Немного проще по расчетам является графическим способ. Его лучше всего использовать в том случае, когда границы участка представлены в виде ломанной линии, с небольшим количеством поворотов.

И самый доступный и простой способ, и наиболее популярный, но и в тоже время самой большой погрешностью – механический способ. Используя данный метод, Вы сможете легко и быстро выполнить расчет площади земельных угодий простой или сложной формы.

Среди серьезных недостатков механического или графического способа, выделяют следующее, кроме погрешностей при измерении участка, при расчетах добавляется погрешность из-за деформации бумаги или погрешность при составлении планов.

Источник

Площадь квадрата

Из известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– ) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это . Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его , для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2

Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Источник

Виды четырёхугольников

Рассмотрим основные виды выпуклых четырёхугольников:

  • Трапеция — четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон, параллельны друг другу, а другая пара не параллельны.

    • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.
    • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов прямой.
  • Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны друг другу.

    • Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны.
    • Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
    • Квадрат — параллелограмм, у которого равны и стороны и углы. И прямоугольник и ромб могут быть квадратом.

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2( (a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Свойство аддитивности площади

Предположим, что нам надо найти площадь прямоугольника со сторонами 2 и 1. Его можно разбить на два квадрата со стороной 1, то есть на два единичных квадрата:

Этот прямоугольник занимает на плоскости в два раза больше места, чем единичный квадрат, поэтому логично считать, что его площадь равна 2. В данном случае мы разбили многоугольник на две фигуры, площадь каждой из которых нам была известна. Далее мы сложили площади известные нам площади и получили площадь прямоугольника.

В общем случае справедливо утверждение, что площадь всякой фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она может быть составлена. Это свойство называют аддитивностью площади:

Площадь – не единственная величина, обладающая свойством аддитивности. Например, длина любого отрезка равна сумме длин отрезков, из которых он состоит. В классической физике считается, что масса сложного тела равна сумме масс тел, составляющих его. Аддитивность можно считать основным свойством площади.

Свойство аддитивности подсказывает нам, как измерять площадь произвольных многоугольников. Достаточно разбить такой многоугольник на несколько фигур, чья площадь нам известна, и сложить их площади.

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Длина стороны одной клеточки равна единице.

Решение. Каждая клеточка является, по сути, единичным квадратом, чья площадь равна 1. Можно видеть, что нарисованная фигура состоит 11 таких квадратов:

В силу свойства аддитивности площадь фигуры равна сумме площадей этих квадратов:

Если две фигуры можно разбить на одинаковые фигуры, то их называют равносоставленными фигурами. Покажем пример равносоставленных фигур, которые состоят из двух половинок круга:

Довольно очевидно, что равносоставленные фигуры имеют равную площадь. Также очевидно, что любые две равные фигуры являются равносоставленными, а потому их площади тоже равны.

Важно понимать разницу между равными и равносоставленными фигурами. Фигуры равны, если их можно наложить друг на друга, и при этом они полностью совпадут

Равносоставленные же фигуры могут и не накладываться друг на друга.

Ещё одно важное понятие – равновеликие фигуры. Так называют фигуры, чьи площади равны

Мы уже сказали, что любые две равносоставленные фигуры имеют одинаковую площадь, то есть являются равновеликими. Верно ли обратное? Всякие ли равновеликие фигуры являются равносоставленными? Оказывается, что нет. Можно нарисовать окружность и квадрат, имеющие равные площади, но разбить их на одинаковые фигуры не получится:

С помощью равных и равновеликих фигур можно находить площади фигур, которые невозможно разбить на единичные квадраты.

Задание. Найдите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны единице.

Решение. Достроим такой прямоугольник до единичного квадрата. В результате гипотенуза треугольника окажется диагональю квадрата:

Получили, что единичный квадрат состоит из двух равных треугольников, чью площадь нам и надо найти. Обозначим площадь треугольника как S. Тогда справедливо равенство

Итак, зная свойства площади фигур, мы попытаемся дать этому понятию определение. Можно сказать, что площадь – это число, характеризующее плоскую фигуру и имеющее следующие свойства:

  • площадь квадрата со стороной 1 равна единице:
  • равносоставленные фигуры имеют равную площадь.

Такого описания вполне достаточно, чтобы вывести все формулы для нахождения площади многоугольников.

Примеры решения

Задачи на нахождение площади применяются в нескольких дисциплинах. В геометрии применяются различные комбинации, при которых известны некоторые величины:

  1. Две стороны.
  2. Одна из сторон и диагональ.
  3. Диагональ и разность сторон.

Для расчета расходных материалов и площади поперечного сечения проводника можно всегда измерить стороны прямоугольника. Существует два способа нахождения: автоматизированный и ручной. В первом случае используется специализированное программное обеспечение. Однако вовсе не обязательно применять сложные алгоритмы и программные модули, поскольку формула является очень простой. Для расчета специалисты рекомендуют применять онлайн-калькулятор.

При ручном режиме расчета нужно подставлять значения в формулу. После этого выполнять вычисления. Возможна и оптимизация процесса вычисления. Для этой цели рекомендуется использовать Excel. Приложение входит в состав стандартного офисного пакета MS Office.

Геометрия на плоскости

Задача сводится к тому, что необходимо высчитать S, зная размеры сторон (a = 25 и b = 10). В этом случае следует воспользоваться базовой формулой: S = a * b = 25 * 10 = 250 (ед 2 ). В ответе указывается условная единица измерения, поскольку явная не указана в условии задачи.

Еще один вариант задания немного сложнее предыдущего. Он имеет следующее условие: одна из сторон прямоугольника равна 6 м и диагональ 10 м. Нужно найти площадь прямоугольника. Формулой в этом случае является теорема Пифагора. Треугольник, который образуется при проведении диагонали, считается прямоугольный (неравносторонний, а разносторонний). Решается задача следующим образом:

Находится неизвестная сторона: b =(d 2 — a 2 )^(1/2) = (100 — 36)^(1/2) = 8 (м).

Площадь (произведение сторон): S = 6 * 8 = 48 (м 2 ).

Можно использовать двойную формулу Герона, однако метод усложняет вычисления. Для сравнения скорости и объема вычислений следует решить задачу вторым способом:

Значение площади будет вычисляться таким образом: S = 2 * ^(1/2) = 2 * 24 = 48 (м 2 ).

Второй способ считается неправильным, поскольку необходимо во всех задачах оптимизировать вычисления. Сложным типом задачи, кроме интегрирования, считается нахождение площади, когда неизвестны стороны, а известна только диагональ (10). Известно также, что одна из сторон больше другой на 3 метра. В этом случае надо выражать одну сторону через другую. Алгоритм решения следующий:

  1. Обозначить стороны: a = x и b = x — 3.
  2. Составить уравнение: x * (x — 3) = 10.

Раскрыть скобки: x 2 — 3x — 10 = 0.

Нахождение дискриминанта: D = b 2 — 4* a * c = 9 — (4 * 10) 2 ). Однако берется не исходное значение, а приближенное. Его нужно округлять только в большую сторону, т. е. править 3,75 на значение 4. Следует руководствоваться таким правилом: результат округляется в большую сторону.

Источник

Общие сведения

В различных задачах с физико-математическим уклоном приходится вычислять площадь прямоугольника. Однако формула расчета применяется не только в математике и физике, но и во время ремонтных работ. Например, следует посчитать количество расходных материалов, которое зависит от квадратуры комнаты или здания.

Очень важно не только знать основные соотношения, но и корректно переводить единицы измерения из одной в другую. От знаний полностью зависит экономия денежных средств

Например, при клейке обоев в комнате требуется определенное количество рулонов. Это количество можно купить в строительном магазине «на глаз» или рассчитать квадратуру комнаты. Во втором случае можно существенно сэкономить. Для того чтобы посчитать квадратные метры помещения, нужно вычислить его площадь.

Площадь фигуры

Площадью двумерной фигуры является численная характеристика, которая показывает ее размерность. Она обозначается литерой S и измеряется в квадратных единицах (мм 2 , см 2 , дм 2 и т. д.). Не каждый элемент геометрии имеет площадь. Прямая, луч, отрезок, точка не имеют двумерной размерности. Фигуры, у которых она присутствует, являются квадратируемыми. Если значения их S равны, то они являются равновеликими.

Для вычисления значения двухплоскостной размерности фигуры применяется интегральный метод. Однако бывают частные случаи, когда вычислять интеграл необязательно. Существуют определенные формулы, полученные с помощью интегрального метода. Чтобы ими воспользоваться, нужно просто подставить числовые значения сторон.

Единицы измерения

При решении задач на нахождение значения площади нужно знать единицы ее измерения. Кроме того, следует правильно выполнять перевод одной единицы в другую. В системе исчисления используются квадратичные единицы измерения. За основу следует брать размер стороны прямоугольника. Например, при указании площади в кв. м нужно измерять в метраже стороны объекта. Это стандартная единица измерения площади.

Существуют также производные единицы. Самой маленькой из них является квадратный миллиметр (кв. мм или мм 2 ). В некоторой литературе или программировании можно встретить такую запись: sqr (m), которая означает квадратный метр. Основные производные единицы площади:

1 см 2 = 100 мм 2 .

1 дм 2 = 100 см 2 .

1 м 2 = 100 дм 2 = 10000 см 2 .

1 км 2 = 1000000 м 2 .

1 ар (а) = 1 сотка = 100 м 2 .

1 гектар (га) = 10000 м 2 .

Последние применяются для измерения земельного участка. Однако необязательно их все помнить. Они легко выводятся при помощи простейших математических вычислений. Например, для выполнения расчетов нужно перевести кв. м в кв. см. Однако человек мог забыть, сколько см 2 в квадратном метре. Следует взять метрическую форму (1 м = 100 см). Затем нужно возвести обе части выражения в квадрат: 1 м 2 = 100 * 100 = 10000 (см 2 ).

Другие свойства выпуклых четырехугольников

  • Пусть со всех сторон четырехугольника нарисованы внешние квадраты. Сегменты, соединяющие противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
  • Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра.
  • Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

Площадь четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников.

К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти можно найти по сторонам, легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника.

Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ.

Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле: Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника.

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см.

Острый угол между ними равен α = 30°.

Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет . Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам.

Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры.

Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:

Зная стороны, выводим формулу.

представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны: Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны.

Формула для расчета площади неправильного многоугольника

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

  1. Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория.

Площадь четырехугольника Четырёхугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его.

Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.

Площадь многоугольника Внимание Это может быть:

  1. четырехугольник;
  2. треугольник;
  3. пяти- или шестиугольник и так далее.
Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector